Fünfdimensionale Physik

Relativistische Addition von Geschwindigkeiten im R5

Dipl.-Phys. Roland Sprenger, Herford                                                                                                                            28.03.2024                               

 

Inhalt
Es wird eine dritte Art der „Addition“ relativistischer Geschwindigkeiten gezeigt. Dabei wird die Ebene des Minkowski-Diagramms mit der Weltlinie des Körpers mit der zu addierenden Geschwindigkeit u´ um die Winkelhalbierende in die fünfte Dimension hinein so weit gedreht, bis die orthogonalen Projektionen der Koordinatenachsen auf die schiefwinkligen Koordinatenachsen fallen. Dann ist die orthogonale Projektion der gedrehten Weltlinie die gesuchte Weltlinie im Minkowski-Diagramm, aus der man die resultierende Geschwindigkeit u mit den Koordinaten eines ihrer Punkte berechnen kann.
Zum Beweis dessen wird aus dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten die Drehung in die fünfte Dimension abgeleitet. 

Fotos eines realen Modells und computergenerierte Diagramme belegen die Aussage. Damit gibt es ein weiteres Indiz für die Existenz einer fünften Dimension der Raumzeit.
Nebenher ergibt sich die Veranschaulichung und Auflösung des Paradoxes "c + u´ = c" .


Abschnitte:
1. Einleitung
2. Der Drehwinkel
3. Beweis des Verfahrens
4. Geschwindigkeitsaddition mit einer Drehmatrix
5. Bestätigung am realen und am computergenerierten Modell
6. Geschwindigkeitsaddition mit analytischer Geometrie
7. Die fünfte Dimension
8. Auflösung des Paradoxes "c + u´ = c"
9. Zusammenfassung und Ausblick


1. Einleitung

Im Minkowski-Diagramm lässt sich die relativistische Addition von Geschwindigkeiten nach der Formel 

                                             u = (u´+ v) / (1 + (u´v) / c²)     (Additionstheorem der Geschwindigkeiten)
          
veranschaulichen. Z.B. "addieren" sich v = 0,6 c und u´= 0,65 c nicht klassisch zu u = 1,25 c sondern zu u = 0,899 c. Im dementsprechenden Minkowski-Diagramm [1] (s. Abb. 1) kann man u = Δx / Δt = (15,5Ls) / (17,2 s) = 0,901 c  ablesen, im Rahmen der Zeichengenauigkeit also denselben Wert. 
  
                                                

Abb. 1: Minkowski-Diagramm einer im Weltall gleichförmig bewegten Rakete mit der Geschwindigkeit v = 0,6 c, die am Ursprung in Bewegungsrichtung Protonen mit der Geschwindigkeit u´= 0,65 c abschießt. Im Bezugssystem S des Beobachters bewegen sich die Protonen auf der roten Weltlinie.

Das schiefwinklige Koordinatensystem S´ mit den Achsen x´ und t´ ist das Ruhsystem der Rakete. Man kann es sich als durch Drehung des rechtwinkligen Koordinatensystems S um die Winkelhalbierende um einen Winkel φ in die 5. Dimension hinein (aus der Zeichenebene heraus) entstanden denken, wobei die orthogonalen Projektionen der beiden Koordinatenachsen in die Zeichenebene auf den Achsen x´ und t´ liegen. 


2. Der Drehwinkel


Für den Winkel φ gilt folgende Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v bzw. von v/c:

                                                                         cos φ = tan ⁡(π/4 - arctan (v/c) )             mit   0 ≤ v ≤ c    .                           (1)

Beweis: 

Ein Winkel δ werde um einen seiner Schenkel um einen Winkel φ gedreht (s. Abb. 2). 

                                          
Abb. 2: Draufsicht (links) und Seitenansicht (rechts) der Drehung des Winkels δ aus der Zeichenebene heraus; ε ist die Projektion des gedrehten Winkels δ in die Zeichenebene.

Laut Abb. 2 gilt                                 b = a ∙ cos φ

sowie                                                         tan δ = a    und tan ε = b    ,

also                                         tan ε = a ∙ cos φ

und                                         tan ε = tan δ ∙ cos φ      .                                                            (2) 
 
Im Falle der Drehung von Bezugssystem S zum Bezugsystem S´ um den Winkel φ bzw. der t-Achse über die t´-Achse gilt laut Abb. 3 für den gedrehten Winkel δ   δ = 45°  und tan δ = 1 . An die Stelle des Winkels ε tritt dann der Winkel  45°-α . (δ und ε sind jetzt nicht die in Abb. 3 als δ und ε bezeichneten Winkel.)

Aus (2) folgt dann                                 tan (π/4 - α) = cos ⁡φ .                                      

Laut Abb. 1 gilt  (siehe (6) )                 tan ⁡α = v/c                                                                                                   
und somit                                 cos⁡ φ = tan (π/4 - arctan⁡ (v/c) ) , s. o

bzw.                                         φ = arccos ⁡(tan ⁡(45° - α) )                                                  (3)  
mit   0 ≤  α ≤ 45° ;  (Graphen s. Anhang Abb. 12)      .
 
Für   - 45° ≤ α ≤ 0° gilt                                 φ = arccos ⁡(tan ⁡(45° + α) )                 Beweis s. [2]
Die Drehachse ist hier die Winkelhalbierende durch den 2. und 4. Quadranten.
 
Mit dem Additionstheorem für Tangens                         tan ⁡(x - y) = (tan x - tan y) / (1 + tan x ∙ tan y)
(übrigens von derselben Struktur wie das Additionstheorem der Geschwindigkeiten – daher wohl auch dessen Name) folgt aus (1)
                                        cos⁡ φ = (1 - v/c) / (1 + v/c)   ,

mithin                                      φ = arccos[ (c - v) / (c + v) ]     für    0 ≤ v ≤ c                        (4)

und s. [2]                                      φ = arccos[ (c + v) / (c - v) ]       für  - c < v ≤ 0       .


3. Beweis des Verfahrens

Das aus den Lorentz-Transformationen abgeleitete Additionstheorem der Geschwindigkeiten      u = (u´ + v) / (1 + (u´ v) / c²)  wird als wahr vorausgesetzt. In den Sonderfällen mit entgegengesetzter Orientierung der Bewegungen v = c und u´= - c sowie v = - c und u´ = c folgt allerdings   u = 0 / 0  . Deshalb gilt die Formel nur für alle v mit   | v | < c   und alle u´ mit  | u´ | ≤ c   . Die Beschränkung auf    | v | < c  ist physikalisch sinnvoll, denn ein Körper, der ein Quant mit der Geschwindigkeit c bzw. - c aussendet, kann nicht selbst Lichtgeschwindigkeit haben. Und lichtschnelle Quanten emittieren keine lichtschnellen Quanten. In den theoretischen Sonderfällen  v = c  und u´ = c  sowie  v = - c  und u´ = - c  gilt das Additionstheorem allerdings auch noch.
 
Da c ≠ 0 gilt                u = (u´ + v) / (1 + u´ v / c2 ) = [ (u´ + v) ∙ c2 ] / [ (1 + u´ v / c2 ) ∙ c2 ] =  (u´ + v) ∙ c2 / (c2 + u´ v)    .
Da (c2 + u´ v) ≠ 0 laut Voraussetzung | v | < c folgt     u ∙ (c2 + u´ v) = (u´ + v) ∙ c2    .

                                                                                  2 (u c2 + u u´ v) = 2 (u´ c2 + v c2) 

                                                                 u c2 + u u´ v + u c2 + u u´ v = u´ c2 + v c2 + u´ c2 + v c2

Auf beiden Seiten wird addiert      c3 - u v c - u u´c + u´v c

                        c3 + u c2 - v c2 - u v c - u´ c2 - u u´c + u´v c + u u´v = c3 + u´c2 + v c2 + u´v c - u c2 - u v c - u u´c - u u´v

                             c ∙ (c2 + u c -v c - u v) - u´ ∙ (c2 + u c - v c - u v) = c ∙ (c2 + v c + u´c + u´v) - u ∙ (c2 + v c + u´c + u´v)

                                                           (c - u´) ∙ (c2 + u c - v c - u v) = (c - u) ∙ (c2 + v c + u´c + u´v)

                                                          (c - u´) [ c (c + u) - v (c + u) ] = (c - u) [c (c + v) + u´(c + v) ]

                                                                       (c - u´) (c - v) (c + u) = (c - u) (c + u´) (c + v)                            
 
Nun wird auf beiden Seiten durch   [(c+u´) (c+v) (c+u)] dividiert. Dafür muss gelten u´, v, u ≠ - c . v ≠ - c wird oben vorausgesetzt. Notwendig ist an dieser Stelle die weitere Einschränkung   u´ ≠ - c  . Aus   v ≠ - c   und      u´ ≠ - c   folgt auch    u ≠ - c .
                                          [ (c - u´) / (c + u´) ] ∙ [ (c - v) / (c + v) ] = (c - u) / (c + u)                                (5)

Aus   1 Ls = c ∙ 1 s     folgt v = s / t = (a  Ls) / (b s) = (a / b) [(c s) / s] = (a / b) c     (s. Abb. 1)   , also                 v / c = a / b    

und aus                                   tan⁡ α = a / b folgt

tan α = v / c       und entsprechend Abb. 3                    tan γ = u / c            ,        tan ⁡(45° - δ) = (u´) / c .              (6) 

Für den ersten Bruch in (5) gilt mit (6)   (c - u´) / (c + u´) = [ (c - u´) (1 / c) ] / [ (c + u´) (1 / c) ] = [1 - (u´ / c) ] / [1 + (u´) / c]
                                 = [1 - tan⁡ (45° - δ) ] / [1 + tan⁡ (45° + δ) ] = [1 - (1 - tan⁡δ) / (1 + tan⁡δ ) ] / [1 + (1 - tan⁡δ) / (1 + tan⁡ δ) ]

                                 = { [1 + tan⁡ δ - (1 - tan⁡ δ) ] / (1 + tan ⁡δ ) } / { [1 + tan⁡ δ + 1 - tan ⁡δ] / (1 + tan⁡δ) } = (2 tan ⁡δ) / 2 =  tan ⁡δ      .

Für den zweiten Bruch in (5) gilt (4):                           (c - v) / (c + v) = cos ⁡φ     .

Für den dritten Bruch in (5) gilt mit (6)         (c - u) / (c + u) = [ (c - u) (1 / c) ] / [ (c + u) (1 / c) ] 

                                                          = [1 - (u / c) ] / [1 + (u / c) ] = (1 - tan ⁡γ) / (1 + tan ⁡γ) = tan ⁡(45° - γ) .

Daraus folgt für (5)                                      tan ⁡δ ∙ cos ⁡φ = tan ⁡(45° - γ)      .                                        (7)

Laut Abb. 3 gilt   45° - γ = ε  . Damit erfüllen die dortigen Winkel δ und ε die Gleichung 2               tan ⁡δ ∙ cos ⁡φ = tan ⁡ε       

für die Drehung eines Winkels δ um einen seiner Schenkel (dort gleichzeitig die Winkelhalbierende) um einen Winkel φ mit der orthogonalen Projektion ε des Winkels δ auf die anfängliche Fläche. Damit ist gezeigt, dass die relativistische Addition von Geschwindigkeiten auch mit dem beschriebenen Verfahren der Drehung des rechtwinkligen Bezugssystems S´ in eine fünfte Dimension für alle v mit   | v | < c  und alle u´ mit   - c < u´ ≤ c   erfolgen kann. 
                                            
 

4. Geschwindigkeitsaddition mit einer Drehmatrix


Nun wird an einem Beispiel gezeigt, dass und wie zwei relativistische Geschwindigkeiten durch eine Drehung des rechtwinkligen Koordinatensystems um die Winkelhalbierende w um den Winkel φ „addiert“ werden können. Dazu zeichnet man die Weltlinie des zweiten Körpers (des Protons, grün in Abb. 3) in das rechtwinklige Koordinatensystem ein. Durch die Drehung um φ erhält man dann die Weltlinie des zweiten Körpers im Laborsystem S (rot in Abb. 3) als orthogonale Projektion der gedrehten grünen Weltlinie. 

In einem zweiten Beispiel habe eine Rakete im Weltall die Geschwindigkeit v = 0,2 c und ein im Koordinatenursprung in Bewegungsrichtung abgeschossenes Proton im Ruhsystem der Rakete S´ die Geschwindigkeit u´= 0,3 c. In Abbildung 3 ist das Minkowski-Diagramm für die Geschwindigkeitsaddition dargestellt, wobei die grüne Linie die Weltlinie des Protons in S´ (vor der Drehung) ist, die t´-Achse die Weltlinie der Raketenspitze bzw. der Protonenkanone, die rote Gerade die Weltlinie des Protons in S.

                                                 

Abb.3: Minkowski-Diagramm für die Addition der Geschwindigkeiten v = 0,2 c und u´= 0,3 c ; Das Additionstheorem ergibt u = 0,4717 c, die Zeichnung u = 5,1 Ls / 10,8 s = 0,472 c , also eine gute Übereinstimmung. Der Drehwinkel φ beträgt 48,19°, messbar in Abb. 6. Mit tan γ = u / c = 0,4717 folgt  γ = 25,25°, s.u.  

Ist eine Ursprungsgerade durch den Einheitsvektor (n1 ; n2 ; n3) gegeben, so wird ein beliebiger Punkt aus R3 durch die Drehmatrix D = 

                                                    

um den Winkel α um diese Gerade gedreht [3]. Für α := φ = 48,19°   und den Einheitsvektor der Winkelhalbierenden zwischen den Koordinatenachsen x und t   (1/√2 ; 1/√2 ; 0)   folgt die Drehmatrix D =

                                               

Der Punkt A(3|10|0) von der Weltlinie eines Protons in S´ vor der Drehung wird dadurch auf den Punkt C(4,167|8,833|3,689) abgebildet, welcher genau über bzw. auf der Weltlinie des Protons in S liegt. Denn mit tanγ = 4,167 / 8,833 folgt γ = 25,26° , also bis auf eine durch Rundung bedingte Abweichung von 0,01° derselbe Winkel wie der oben berechnete.  
 
 

5. Bestätigung am realen und am computergenerierten Modell


Das wird auch am Modell bestätigt, s. Abb. 4, 5 und 14. Dabei ist zu berücksichtigen, dass Fotoapparate keine Projektionen sondern Zentralprojektionen produzieren. Deshalb kommt es zu Verzerrungen und es muss der richtige Aufnahmepunkt in einem möglichst großen Abstand gewählt werden, was wiederum Unschärfe hervorruft.  

                                                   
Abb. 4: Um den Winkel φ gedrehtes Geo-Dreieck bei v = 0,2 c und u´= 0,3 c; Die dunkle Weltlinie des Protons in S´ auf dem Geo-Dreieck geht nahtlos in seine rote Weltlinie in S über. 

                                                   

Abb. 5: Derselbe Aufbau wie in Abb. 4 in zueinander senkrechten Seitenansichten; Wegen der Zentralprojektion ist φ etwas größer als 48,19° (50,5°).

Parallelprojektionen erzeugt dagegen ein mit GNU Octave [4] geschriebenes Computerprogramm (s. Anhang und Abb. 6).                                                         
                                                
Abb. 6: Oben links die räumliche Darstellung (Achsen x, t, x5) der Weltlinien für v = 0,2 c (blau), u´ = 0,3 c (grün), der resultierenden Geschwindigkeit u = 0,4717 c (rot) und der gedrehten t-Achse (schwarz). In der vertikalen Projektion oben rechts sind die verdeckten Weltlinien (rot und blau) an ihren oberen Enden sichtbar. Unten links werden berechnete Daten zu Bspl. 2 angezeigt und unten rechts die Seitenansicht mit dem messbar exakten Winkel 48,2°.  


Wenn man in einer der Darstellungen bei GNU-Octave das Doppelpfeil-Symbol (rotate) anklickt, kann man die Figur drehen bzw. den Gesichtspunkt verändern und so die vertikale Projektion und die Seitenansicht  erzeugen. Das Computerprogramm „Video_Drehung_zur_Projektion.mp4“ (s. Anhang nach Abb. 14) zeigt eine Drehung von einer Schrägansicht zur vertikalen Projektion.

Statt des Additionstheorems kann zur Berechnung einer Geschwindigkeitssumme also eine Rotationsmatrix benutzt werden, denn mit tan γ = u / c folgt 
  
                              u = c ∙ tan γ = c  tan 25,26° , hier u = 0,4718 c

(wegen der Rundungen eine Abweichung um 0,0001 c).

Auf der Internetseite https://www.youtube.com/watch?v=pd8bspQomdw ist in einem Video eine Messung der resultierenden Geschwindigkeit mithilfe der fünften Dimension an einem dreidimensionalen Modell dargestellt. 


6. Geschwindigkeitsaddition mit analytischer Geometrie


Außerdem kann man den Winkel γ (und daraus die Summengeschwindigkeit u) auch mit analytischer Geometrie auf folgende Weise berechnen (was ebenfalls am zweiten Beispiel gezeigt wird). 

In Abb. 3 verläuft die Gerade g senkrecht zur Winkelhalbierenden w durch den Punkt A(3|10) der Weltlinie eines Protons im Ruhsystem der Rakete S´. Ihre Gleichung bestimmt man zu    t = x + 13 .

Mit der Gleichung der Winkelhalbierenden                    t = x

berechnet man den Schnittpunkt B von w und g zu            B (6,5 | 6,5) .

Die Länge der Strecke d zwischen den Punkten A und B berechnet man zu   4,950.

C ist der Schnittpunkt der Geraden g mit der Weltlinie eines Protons im Laborsystem S. Da die Strecke e zwischen den Punkten B und C die Projektion der um den Winkel φ gedrehten Strecke d ist, gilt

                                                                                                    e = d ∙ cos φ    (s. Abb. 7) .

Damit ergibt sich                                                      e = 3,300

und                                                                        e : d = 2 : 3 .

Mit dem Strahlensatz ergibt sich dann die x-Komponente von e zu    2,333

und die t-Komponente zu ebenfalls    2,333.

Ausgehend von B(6,5|6,5) ergibt sich daraus der Punkt C(4,167|8,833)

und damit                                                             tan γ = 4,167 : 8,833 = 0,4718  ,

also                                                                                                    u = c ∙ tan ⁡γ = 0,4718 c     .

                                                    

Abb. 7: Seitenansicht der um die Winkelhalbierende gedrehten Strecke d
 

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit für die resultierende Geschwindigkeit ergibt sich mithilfe der Winkel φ, α und β´ (s. Anhang sowie Abb. 9 und 10).


7. Die fünfte Dimension
Aus (1)         cos φ = tan ⁡(π/4 - arctan v/c)


ergibt sich z.B. für v / c = 0 φ = 0

                                        v / c = 1 φ = π/2 = 90°

                                        v / c = 0,5 φ = 1,231 = 70,53°

D.h. ein Körper, der im R³ ruht, bleibt bei x5 = 0 und dringt in diesem Sinne nicht in die fünfte Dimension ein.

Da bei der Drehung um die Winkelhalbierende der Winkel zwischen derselben und der Zeitachse erhalten bleibt, bewegt sich Licht unter einem Winkel von 45° „über“ der Diagonalen zwischen der x- und der t-Achse (im Folgenden als „Lichtlinie“ bezeichnet).

Bewegungen mit Geschwindigkeiten zwischen 0 und c haben Komponenten x5 in der fünften Dimension, für welche gilt  

                                                                            x5 = x √(8 c v) / (c + v)         (Beweis s. Anhang).

Für eine der höchsten derzeitigen Geschwindigkeiten in unserer Lebenswelt, z.B. einen Düsenjäger mit der Geschwindigkeit Mach 3 gilt    v / c = 3,434*10-6,     φ = 0,003706 ≈ 0,2°    und    x5 = 0,004241 x   . Nach 1 km Flug ist er im Laborsystem nur um 4,24 m in die 5. Dimension eingedrungen. Die fünfte Dimension umgibt die Raumzeit also nur als „dünne Schicht“. Der Düsenjäger, den wir sehen, ist die Projektion aus der fünfdimensionalen Raumzeit in die dreidimensionale Welt.

8. Auflösung des Paradoxes "c + u´ = c"


In diesem fünfdimensionalen Weltmodell löst sich das Paradox auf, dass die resultierende Geschwindigkeit aus zwei Lichtgeschwindigkeiten wieder die einfache Lichtgeschwindigkeit ist (Näherung bzw. theoretischer Fall, s.o.). Wenn z.B. ein näherungsweise mit Lichtgeschwindigkeit bewegtes Teilchen in Bewegungsrichtung ein Photon aussendet, so ist das Ruhsystem des Teilchens S´ näherungsweise um 90° um die Winkelhalbierende w gedreht und seine Weltlinie ist die t´-Achse (s. Abb. 9). Das Photon bewegt sich in S´ auf der Winkelhalbierenden zwischen der t´- und der x´-Achse, welche gleichzeitig auch Winkelhalbierende in S ist. Für den Beobachter in S bewegt sich das Teilchen ebenfalls auf dieser Winkelhalbierenden. Für ihn entfernt sich das Photon demnach nicht vom Teilchen, sie fliegen scheinbar zusammen. Im fünfdimensionalen Modell liegt aber dazwischen ein Winkel von 45°, also sehr wohl ein wachsender Abstand. Wenn das Teilchen kein Photon sondern ein anderes Teilchen aussendet, so kann letzteres eine beliebige Geschwindigkeit haben: Die Projektion seiner Weltlinie in S´ liegt immer auf der Winkelhalbierenden in S, weil die Ebene von S´ senkrecht auf der Ebene von S steht. D.h. die resultierende Geschwindigkeit ist in S immer die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c. 

                                                     

Abb. 9: Die t´- Achse im R5 und ihre Projektion in die horizontale Eben sind die Weltlinien (blau) eines ersten Körpers mit der Geschwindigkeit v im Beobachtersystem S und v´ = 0 in seinem Ruhsystem S´. Links gilt v < c, rechts v = c. Die grüne Weltlinie ist die des vom ersten Körper in S´ mit der Geschwindigkeit u´ in Bewegungsrichtung im Ursprung ausgesandten zweiten Körpers. Aus deren Projektion in das horizontale Bezugssystem S, der roten Weltlinie, ergibt sich mit tan γ = u/c die in S resultierende Geschwindigkeit u. Wenn wie in der rechten Abbildung v = c und damit φ = 90° gilt, kann das zweite Objekt eine beliebige Geschwindigkeit 0 < u´ ≤ c haben, die grüne Weltlinie also unter beliebigen Winkeln 0° < β´ ≤ 45° verlaufen. Immer fällt ihre Projektion auf die Winkelhalbierende w, d.h. die resultierende Geschwindigkeit u ist dann immer gleich c. Der erste und der zweite Körper (bzw. Objekt) bewegen sich im R4 dann zwar zusammen (in S, also in der Projektion), im R5 (hier also in der Zeicheneben) entfernen sie sich aber voneinander  mit der Geschwindigkeit  u´ = (tan β´) ∙ c .



9. Zusammenfassung und Ausblick


Die hier dargestellte "Addition" relativistischer Geschwindigkeiten in einer fünfdimensionalen Raumzeit ist ein Indiz für die Existenz einer fünften Dimension und bestätigt damit die geniale Idee von Theodor Kaluza aus dem Jahr 1921, der durch die Einführung einer fünften Dimension die Gravitationskraft und die elektromagnetische Kraft vereinigen konnte [5], [6]. Möglicherweise lassen sich mithilfe der fünften Dimension noch andere physikalische Phänomene erklären, z.B. die Rotverschiebung der Galaxieenspektren als Folge einer Krümmung des dreidimensionalen Raumes in der vierten Dimension (mit der Zeit als fünften Dimension) [7]. Und vielleicht lassen sich atomare Orbitale als stehende Wellen des dreidimensionalen Raumes in einem  vierdimensionalen Hyperraum deuten. 

 

 

 

Quellen 

[1] Metzler Physik, J.B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung, Stuttgart, 1988, S. 343-349

[2] R. Sprenger. Bewegte Emitter und Absorber von Photonen, DOI 10.5281/zenodo.10968719

[3] https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix


[4] John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring (2024).
     GNU Octave version 9.1.0 manual: a high-level interactive language for numerical computations.
     URL https://www.gnu.org/software/octave/doc/v9.1.0/

[5] T. Kaluza: Zum Unitätsproblem der Physik. In: Sitzungsberichte Preußische Akademie der
     Wissenschaften, 1921, S. 966–972, archive.org.

[6] Klein, O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Z. Physik 37, 895–906 (1926).
     https://doi.org/10.1007/BF01397481

[7] R. Sprenger. Universum ohne Expansion und Urknall. www.roland-sprenger.de,
     DOI 10.5281/zenodo.13336221

 

 

Anhang

 

Berechnung der resultierenden Geschwindigkeit aus den Winkel φ, α und β´ 

                                                  
Abb. 10: Darstellung der im Text genannten Winkel (β stimmt nicht mit β in Abb.1,2 und 3 überein.)

Es gilt   α = arctan (v / c)    (s.o.) . Der Winkel β im Bezugssystem S ist die Projektion des Winkels β´ aus dem System S´ (β´ dargestellt vor der Drehung). Im System S gilt
 
                                                                 β = (45° - α) - (45 - γ)                        (s. Abb. 10)   ,
 
wobei der Winkel    (45°-α)  die Projektion des um φ um die Winkelhalbierende gedrehten Winkels 45° im System S´ ist. Und der Winkel   (45 - γ)   zwischen roter Weltlinie und Winkelhalbierender in S ist  die Projektion des Winkels (45° - β´) zwischen grüner Weltlinie und Winkelhalbierender  in S´, ist also ebenfalls um den Winkel φ um die Winkelhalbierende gedreht. Für solche Projektionen wurde oben die Formel 
 
tan ε = tan δ ∙ cos φ                                  bewiesen. Entsprechend gilt nun
 
tan ⁡(45° - α) = tan 45° ∙ cos φ ,                 also   (45° - α) = arctan ⁡(cos φ)                 und 
 
tan⁡ (45° - γ) = tan ⁡(45° - β´) ∙ cos φ ,         also   (45° - γ) = arctan ⁡(tan ⁡(45° - β´) ∙ cos φ). 
 
Daraus folgt                                   β = arctan ⁡(cos φ) - arctan ⁡(tan ⁡(45° - β´) ∙ cos φ)    . 
 
Außerdem gilt                                            γ = α + β      . 
 
Nun kann man schrittweise   α, β, γ und mit u = c ∙ tan γ      die resultierende Geschwindigkeit u ausrechnen, s. Beispiel 3.

 

Beispiel 3

v = 0,6 c     ;     u´ = 0,8 c

α = arctan v/c = arctan 0,6 = 30,96°

β´ = arctan (u´)/c = arctan 0,8 = 38,66°

cos φ = tan ⁡(45° - α) = 0,25

β = arctan ⁡(cos φ) - arctan ⁡(tan ⁡(45° - β´) ∙ cos φ) = 12,45°

γ = α + β = 43,41°

u = c ∙ tan γ = 0,9459 c

Vergleich: u = (u´ + v) / (1 + (u´v) / c²) = 0,9459 c 
 

Beweis von  x5 =  x √(8 c v)/(c + v)  

An der Stelle x hat die Winkelhalbierende w vom Ursprung aus gemessen die Länge  √2  x . Dort hat die um den Winkel φ gedrehte t´- Achse die „Höhe“ x5, s. Abb. 11.

                                                      
Abb. 11: Darstellung der Ortskomponente x5 an der Stelle x in der Seitenansicht (rechts) des um den Winkel φ gedrehten Koordinatensystems S´
 
Abb. 11 entnimmt man                         x5 = √2 x ∙ sinφ . 
 
Mit sin φ = √ (1 - cos² φ)     folgt                 x5 = √ 2 x ∙ √ (1 - cos² φ) . 
 

Mit (4)    cos⁡ φ = (c - v) / (c + v)    folgt         x5 = (√2) x ∙ √ [1 - (c - v)2 / (c + v)2]


                            x5 = (√2) x ∙ √[(c2 +2 c v + v2  - (c2 - 2 c v + v2)) / (c + v)2 ] = (√2) x ∙ √[(4 c v) / (c + v)2]

                                                                              x5 = x √(8 c v) / (c + v)  für    0 ≤ v ≤ c

und entsprechend                                 x5 = x √(-8 c v) / (c- v) für  - c < v ≤ 0     .

       
                                             
Abb. 12: Die Ortskoordinate x5 in der 5. Dimension eines mit der Geschwindigkeit v bewegten Körpers an der Stelle x = 1 als Funktion von v/c


                                          
Abb. 13: Graphen der Funktionen   φ = arccos ⁡(tan ⁡(45° - α) )  (rot)  und   φ = arccos ⁡(tan ⁡( (π/4) - arctan (v/c) ) )   (blau)    im Bogenmaß
 
 

                                              
Abb. 14: Vergleich der Zentralprojektion im linken Foto mit der Parallelprojektion des GNU-Octave-Programms. Vergleichbare Winkel sind links und rechts gleich; sie hängen nicht von den Maßstäben ab. Die schwarze Weltlinie im rechten Diagramm ist die Projektion der (gedrehten) t´-Achse und liegt genau auf der blauen Weltlinie des ersten Körpers (der Rakete). Die gestrichelte grüne Weltlinie ist die Weltlinie des Protons (vor der Drehung), also auf dem horizontal liegenden Geo-Dreieck, s. Punkt (4|5). Die grüne durchgezogene Weltlinie verdeckt die rote der in S resultierenden Bewegung (s. Abb. 6 links).  v = 0,3 c u´ = 0,8 c   ;   Ergebnis: u = 0,8871 c               
                           

GNU-Octave-Programm zu Abb. 6 

                                                       

Das Programm bei GNU-Octave erst in das Editor-Fenster eintippen (wie hier dargestellt), weil es dort korrigierbar ist. Es dann ins Befehlsfenster kopieren und mit seinem abgespeicherten Namen starten.

 
Programm des Videos
                                                           

Im Befehlsfenster zuerst ‚pkg load video‘ eingeben, dann das Programm dorthin kopieren und es dann mit ‚open‘ und dem Programmnamen (endend auf .mp4) starten